φψφψφψφψφψφψφψφ Le nombre de fer φψφψφψφψφψφψφψφ

Nom : antiphi, ou psi

Notation : ψ (phi se note φ)

Définition : l'antiphi est la racine négative de l'équation X² – X – 1 = 0

alors que φ en est la racine positive

Conséquences immédiates : ψ + φ = 1 et ψ x φ = - 1

Valeur : ψ =

ψ² = ψ + 1

ψ³ = 2ψ + 1

ψ⁴ = 3ψ + 2

ψ⁵ = 5ψ + 3

ψ⁶ = 8ψ + 5

Donc, pour tout n>2 on a ψⁿ = Fibo_n x ψ + Fibo_n-1

Rectangle de fer ( BCFE ) et rectangle d'or ( ACFD )

Ils sont semblables i.e. BC/CF = AD/AC = 1/φ = |ψ|

A B C

D 1 E |ψ| F

Pour passer de BCEF à ACFD il faut multiplier les longueurs par 2+|ψ|

On a CF/EF = φ donc φ = 1/|ψ| ó φ x ψ = 1

En outre, DF = DE + EF donc φ = |ψ| + 1

Soit : BCFE est l'image de ACDF par la similitude directe d'angle , de rapport , de centre O, point d'intersection de (AF) et (CE)

De plus,

φ/ψ = -1-φ ψ/φ = -1-ψ

φ + ψ = 1 ( on peut aussi écrire ( φ – ψ )² = 5 )

Enfin,