Les fractales

 

NOTION DE FRACTALES

Habituellement

  • Les formes classiques de la géométrie

- triangles, cercles, sphères -

perdent leur structure classique lorsqu'on les agrandit dans une fénêtre

  • En "zoomant", on en voit qu'un morceau.
  • Ce seul morceau ne caractérise plus l'objet d'origine.
  • Un segment peut provenir de l'agrandissement de différentes formes géométriques.

Benoît Mandelbrot (1975)

  • Il inventa le terme "fractal" pour décrire un type d'objet très différent:

un objet qui continue à présenter une structure détaillée sur un grand éventail d'échelles.

 

  • Ces objets fractals prennent de l'intérêt lorsque les motifs observés se répètent à toutes les échelles:

idée d'auto-similarité.

 

  • Une ligne de côte est un bon exemple d'un objet fractal présent dans la nature.
  • Chaque baie à ses baies ou caps plus petits.
  • La boite de " vache qui rit " montre une vache dont la boucle d'oreille et une boite de " vache qui rit ", et ainsi ad infinitum.

 

OBJET FRACTAL

  •  Concept introduit par Benoît Mandelbrot en 1975
  • dans le but d'étudier les processus et les formes irrégulières
  • ou / et fragmentées que l'on trouve dans la nature

éponges, nuages,

trous du fromage de gruyère,

etc.

  • ou en mathématique

courbes de Peano,

courbe de von Koch,

ensemble triadique de Cantor,

ensemble de Mandelbrot,

attracteurs,

etc.

 

  

  • Si on mesure la longueur d'un contour

(par exemple une côte)

  • sur une carte donnée et sur la même carte à des échelles de plus en plus fines on trouve des longueurs différentes.

 

  • En poussant ce procédé à la limite
  • on est amené à remettre en cause les notions classiques de longueur, d'aire, de volume et de dimension.

 

  • Cette étude conduit à introduire notamment une notion
  • d'ensemble fractal et de dimension fractale de certains objets
  • qui n'est pas nécessairement un nombre entier.

  

ENSEMBLE DE CANTOR

  • Prendre un segment,

lui retirer son tiers central.

  • Prendre chacun des deux segments restants

et leur retirer le tiers central.

  • Etc.

 

  

  • En continuant, on forme une poussière de points.
  • Il y en a une infinité.
  • La longueur totale est nulle.
  • Ces propriétés paradoxales ont perturbé les mathématiciens du XIXe siècle.

 

 

Générateur:

3 segments de longueur 1/3

Longueur:

Nulle

Dimension:

log 2 / log 3 = 0,630 9...

 

  • Mandelbrot utilise cet ensemble comme modèle de probabilité d'erreurs sur les lignes de transmission électronique.
  • Il avait observé qu'il y avait des bouffées d'erreurs, et non une continuité d'erreurs, et ce, à toutes les échelles de temps.

 

 

Poussière de Cantor à deux dimensions