Le Nombre d'or

Connu dès l'Antiquité, il est désigné par la lettre grecque φ (phi), en référence au sculpteur grec Phidias, qui l'a beaucoup utilisé. On retrouve ce nombre dans la pyramide de Khéops, le Parthénon, les unités de mesure médiévales, les construction de Le Corbusier (et notamment son modulor).

Ce nombre est défini comme étant la solution positive de l'équation :

φ² = φ + 1, il vaut donc (démonstration)

Les racines positive et négative de l'équation possèdent de nombreuses propriétés, nous allons étudier celles de la racine positive, le nombre d'or :

φ⁰ = 1
φ¹ = φ
φ² = φ + 1
φ³ = 2 φ + 1
φ⁴ = 3 φ + 2
φ⁵ = 5 φ + 3
φ⁶ = 8 φ + 5,

soit plus généralement : φ ⁿ = Fibo_n x φ + Fibo _n-1

On crée un grand rectangle d'or de largeur l puis on y soustrait un carré de côté l : on obtient alors un autre rectangle d'or, auquel on applique la même opération, et ainsi de suite, indéfiniment.

Ensuite, on trace les arcs de cercles joignant deux sommets opposés de chaque carré :

La spirale converge vers un point A : il s'agit de l'intersection des diagonales des rectangles d'or ; ses coordonnées sont : A dans le repère (O;I;J) . On peut alors assimiler cette spirale à une spirale logarithmique d'équation .